Скользящая средняя для данного дня равна среднему значению цены закрытия данного дня и цен закрытая предыдущих N - 1 дней, где N равно числу дней, по которым вычисляется скользящая средняя. Например, 10-дневная скользящая средняя для данного дня будет равна среднему значению 10 цен закрытия, включая данный день. Термин «скользящая средняя» отражает тот факт, что набор усредняемых чисел непрерывно скользит во времени.
Поскольку скользящая средняя основывается на прошлых ценах, на растущем рынке скользящая средняя окажется ниже текущей цены, а на падающем — выше. Тут то и начинается самое интересное:
Таким образом, когда ценовой тренд меняет направление с восходящего на нисходящее, цены обязаны пересечь скользящую среднюю сверху вниз. Похожим образом, когда ценовой тренд меняет направление с нисходящего на восходящее, цены должны пересечь скользящую среднюю снизу вверх. В большинстве систем скользящей средней эти точки пересечения рассматриваются как торговые сигналы: сигнал к покупке возникает, когда цены пересекают скользящую среднюю снизу вверх; сигнал к продаже возникает, когда цены пересекают скользящую среднюю сверху вниз. Пересечение должно определяться исходя из цен закрытия. Табл. 17.1 иллюстрирует вычисление скользящей средней и показывает торговые сигналы, генерируемые этой простой схемой.
На рис. 17.1 показаны графики цен контракта на казначейские облигации с поставкой в декабре 1993 г. и соответствующей скользяшейсредней.
Сигналы на покупку и продажу, показанные буквами на графике, основаны на только что описанной простой системе пересечения цены и скользящей средней. (Пока не обращайте внимание на сигналы, обведенные ромбиками; значение этих сигналов будет объяснено позже.) Отметьте, что хотя система улавливает основной восходящий тренд, она всетаки генерирует множество ложных сигналов. Конечно, эта проблема может быть смягчена с помощью увеличения длины скользящей средней, но тенденция к чрезмерной генерации ложных сигналов — это характерная черта системы пересечения цены и простой системы скользящей средней. Дело в том, что временные резкие флуктуации цены, весьма распространенные на рынке фьючерсов, часто приводят к генерации сигналов, за которыми не следует развитие нового тренда.
Многие аналитики полагают, что проблема с системой простой скользящей средней заключается в том, что в ней одинаковы веса всех дней, в то время как более недавние дни важнее и, следовательно, должны оцениваться как более весомые, идя построения скользящей средней были предложены многочисленные различные весовые схемы. Два наиболее распространенных весовых подхода — это линейно взвешенная скользящая средняя LWMA (Linearly weighted moving avarage) и экспоненциально взвешенная скользящая средняя EWMA (exponentially weighted moving avarage)*.
LWMA присваивает вес, равный 1, наиболее старой цене в скользящей средней, следующей цене вес, равный 2, и т.д. Вес последней цены будет равен количеству дней в скользящей средней. LWMA равна сумме взвешенных цен, деленной на сумму весов. Это можно выразить с помощью уравнения:
LWMA
t=i
где t— индикатор времени (наиболее отдаленный день = 1,
следующий за ним день = 2, и т.д.), Pt— цена в день t, п — число дней в скользящей средней.
В оставшейся части этой главы были использованы следующие два источника: (1) Perry Kaufman. The New Commodity Trading Systems and Methods. — John Wiley & Sons, Нью-Йорк, 1987; (2) Techical Analysis of Stock and Commodities, доп. вып. 1995, с. 66.
Таблица 17.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ
Лень
Цена закрытия
10-дневная скользящая средняя
Сигнал пересечения
1
80,50
2
81,00
3
81,90
4
81,40
5
83,10
6
82,60
7
82,20
8
83,10
9
84,40
10
85,20
82,54
11
84,60
82,95
12
83,90
83,24
13
84,40
83,49
14
85,20
83,87
15
86,10
84,17
16
85,40
84,45
17
84,10
84,64
Продавать
18
83,50
84,68
19
83,90
84,63
20
83,10
84,42
21
82,50
84,21
22
81,90
84,01
23
81,20
83,69
24
81,60
83,33
25
82,20
82,94
26
82,80
82,68
Покупать
27
83,40
82,61
28
83,80
82,64
29
83,90
82,64
30
83,50
82,68
Например, для 10-дневной LWMA цену 10-дневной давности следует умножать на 1, цену 9-дневной давности на 2 и т.д. вплоть до последней цены, которую следует умножать на 10. Сумму этих взвешенных цен затем следует поделить на 55 (сумма чисел от 1 до 10), чтобы получить LWMA.
EWMA вычисляется как сумма текущей цены, умноженной на сглаживающий коэффициент а, и значения EWMA для предыдущего дня, умноженного на (1 - а). Значения коэффициента а могут изменяться от 0 до 1. Математически определение EWMA формулируется следующим образом:
EWMA, = aPt + (1 - a) EWMA^ .
Это реккурентное соотношение, согласно которому EWMA для каждого дня основывается на значении EWMA для предыдущего дня, означает, что все предыдущие цены будут иметь некоторый вес, но вес для каждого дня экспоненциально уменьшается, по мере того как этот день отдаляется во времени. Вес для каждого отдельного дня вычисляется как:
а(1 - а)*,
где k— номер дня, возрастающий по мере удаления в про шлое (для текущего дня /с = 0 и вес равен просто а).
Поскольку значение а заключено между 0 и 1, вес каждого дня довольно быстро снижается с течением времени. Например, если а = 0,1, то вес вчерашней цены окажется равным 0,09, цена двухдневной давности будет иметь вес 0,081, цена десятидневной давности будет весить 0,035 и цена месячной давности получит вес 0,004.
Экспоненциально взвешенная скользящая средняя со сглаживающей константой а может быть грубо приближена простой скользящей средней с длиной п, где а и п связаны следующей формулой:
а = 2/(п + 1), или
п = (2-а)/а.
Таким образом, например, экспоненциально взвешенная скользящая средняя со сглаживающей константой, равной 0,1, будет грубо приближаться к 19-дневной простой скользящей средней. В качестве другого примера 40-дневная простая скользящая средняя будет грубо приближать экспоненциально взвешенную скользящую среднюю со сглаживающей константой, равной 0,04878.
Рисунок 17.1. ФЬЮЧЕРСЫ НА КАЗНАЧЕЙСКИЕ ОБЛИГАЦИИ С ПОСТАВКОЙ В ДЕКАБРЕ 1993 Г. И 35-ДНЕВНАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ Замечания: В - сигнал на покупку: цена пересекает скользящую среднюю снизу вверх и закрывается выше нее; S - сигнал на продажу: цена пересекает скользящую среднюю сверху вниз и закрывается ниже нее; <$> - сигнал на покупку, не исключенный фильтром; <§> - сигнал на продажу, не исключенный фильтром.
зяшая средняя представляет собой самостоятельное и последовательное улучшение простой скользящей средней. Иногда лучше работают взвешенные усреднения; иногда — простые. Вопрос, какой метод приведет к лучшим результатам, будет полностью зависеть от рынков и выбранных периодов времени; нет никаких причин предполагать, что преимущество одной из систем в прошлом сохранится и в будущем. Иначе говоря, эксперименты с различными типами скользящих средних, вероятно, не предоставляют очевидно плодотворного пути в попытках улучшить систему пересечения цены и скользящей средней.
Как показывает опыт, эффективность торговли проще повысить, применяя метод пересечения двух скользящих средних. В этой системе торговые сигналы основываются на взаимодействии двух скользящих средних в противоположность взаимодействию между единственной сколь-
